解析幾何公式 解析幾何答案
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解析幾何,外文名英語:Analytic geometry,又稱之爲座標幾何,或者是卡氏幾何,最早的時候叫做笛卡兒幾何,藉助於解析式進行圖形研究的幾何學分支。提出者是笛卡爾、費馬等,分類是平面解析幾何和立體解析幾何。
解析幾何通常使用二維的平面直角座標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線,使用三維的空間直角座標系來研究平面、球等各種一般空間曲面,同時研究它們的方程,並定義一些圖形的概念和參數。座標幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角座標系,建立點與實數對之間的一一對應關係,以及曲線與方程之間的一一對應關係,運用代數方法研究幾何問題,或用幾何方法研究代數問題。
解析幾何
歷史
古希臘數學家梅內克繆斯(Menaechmus)的解題、證明方式與現在使用座標系十分相似,以至於有時會認爲他是解析幾何的鼻祖。阿波羅尼奧斯在《論切觸》中解題方式在現在被稱之爲單維解析幾何;他使用直線來求得一點與其它點之間的比例。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中進一步發展了這種方式,這種方式與解析幾何十分相似,比起笛卡兒早了1800多年。他使用了參照線、直徑、切線與現進所使用座標系沒有本質區別,即從切點沿直徑所量的距離爲橫座標,而與切線平行、並與數軸和曲線向交的線段爲縱座標。他進一步發展了橫座標與縱座標之間的關係,即兩者等同於誇張的曲線。然而,阿波羅尼奧斯的工作接近於解析幾何,但它沒能完成它,因爲他沒有將負數納入系統當中。在此,方程是由曲線來確定的,而曲線不是由方程得出的。座標、變量、方程不過是一些給定幾何題的腳註罷了。
十一世紀波斯帝國數學家歐瑪爾·海亞姆發現了幾何與代數之間的密切聯繫,在求三次方程使用了代數和幾何,取得了巨大進步。但最關鍵的一步由笛卡兒完成。
從傳統意義上講,解析幾何是由勒內·笛卡兒創立的。笛卡兒的創舉被記錄在《幾何學》(LaGeometrie)當中,在1637年與他的《方法論》一道發表。這些努力是以法語寫成的,其中的哲學思想爲創立無窮小提供了基礎。最初,這些著作並沒有得到認可,部分原因是由於其中論述的間斷,方程的複雜所致。直到1649年,著作被翻譯爲拉丁語,並被馮·斯霍滕(vanSchooten)恭維後,才被大衆所認可接受。
費馬也爲解析幾何的發展做出了貢獻。他的《平面與立體軌跡引論》雖然沒有在生前發表,但手稿於1637年在巴黎出現,正好早於笛卡兒《方法論》一點。《引論》文字清晰,獲得好評,爲解析幾何提供了鋪墊。費馬與笛卡兒方法的不同在於出發點。費馬從代數公式開始,然後描述它的幾何曲線,而笛卡兒從幾何曲線開始,以方程的完結告終。結果,笛卡兒的方法可以處理更復雜的方程,並發展到使用高次多項式來解決問題。
發展
17世紀以來,由於航海、天文、力學、經濟、軍事、生產的發展,以及初等幾何和初等代數的迅速發展,促進了座標幾何的建立,並被廣泛應用於數學的各個分支。在座標幾何創立以前,幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。座標幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合,使形與數統一起來,這是數學發展史上的一次重大突破。作爲變量數學發展的第一個決定性步驟,座標幾何的建立對於微積分的誕生有着不可估量的作用。
基本理論
卡氏平面座標系。四個點被標註了它們的座標:(2,3)爲綠色,(−3,1)爲紅色,(−1.5,−2.5)爲藍色,原點(0,0)爲紫色。
座標
在解析幾何當中,平面給出了座標系,即每個點都有對應的一對實數座標。最常見的是笛卡兒座標系,其中,每個點都有x-座標對應水平位置,和y-座標對應垂直位置。這些常寫爲有序對(x,y)。這種系統也可以被用在三維幾何當中,空間中的每個點都以多元組呈現(x,y,z)。
座標系也以其它形式出現。在平面中最常見的另類座標系是極座標系,其中每個點都以從原點出發的半徑r和角度θ表示。在三維空間中,最常見的另類座標系統是圓柱座標系和球座標系。
曲線方程
在解析幾何當中,任何方程都包含確定面的子集,即方程的解集。例如,方程y=x在平面上對應的是所有x-座標等於y-座標的解集。這些點彙集成爲一條直線,y=x被稱爲這道方程的直線。總而言之,線性方程中x和y定義線,一元二次方程定義圓錐曲線,更復雜的方程則闡述更復雜的形象。
通常,一個簡單的方程對應平面上的一條曲線。但這不一定如此:方程x=x對應整個平面,方程x+y=0只對應(0,0)一點。在三維空間中,一個方程通常對應一個曲面,而曲線常常代表兩個曲面的交集,或一條參數方程。方程x+y=r代表了是半徑爲r且圓心在(0,0)上的所有圓。
勾股定理的平面距離方程。
主題
解析幾何中的重要問題:
向量空間
平面的定義
距離問題
點積求兩個向量的角度
外積求一向量垂直於兩個已知向量(以及它們的空間體積)
交點問題
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0{displaystyleAx^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}.
現代解析幾何
解析簇(analyticvariety)定義爲幾個解析函數的共同解集。類似與實數與複數的代數簇。任何複流形都是一種解析簇。由於解析簇可能有奇點,但不是所有解析簇都是複數。.
解析幾何總體上來說等同與實數與複數代數幾何,讓-皮埃爾·塞爾在他的著作《代數幾何與解析幾何》(GéometrieAlgébriqueetGéométrieAnalytique)闡述了這個觀點。然而,兩個領域依然有其獨特性,而證明方式也十分不同,代數幾何也包括幾何的有限特徵。
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