第一次數學危機是什麼?第一次數學危機什麼時候發生的
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無理數的發現,引起了第一次數學危機。誘發的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現,它更增加了數學家們的擔憂:數學作爲一門精確的科學是否還有可能?宇宙的和諧性是否還存在?第一次數學危機表明,幾何學的某些真理與算術無關,幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之,數卻可以由幾何量表示出來。
整數是在對於對象的有限整合進行計算的過程中產生的抽象概念。日常生活中,不僅要計算單個的對象,還要度量各種量,例如長度、重量和時間。爲了滿足這些簡單的度量需要,就要用到分數。於是,如果定義有理數爲兩個整數的商,那麼由於有理數系包括所有的整數和分數,所以對於進行實際量度是足夠的。
有理數有一種簡單的幾何解釋。在一條水平直線上,標出一段線段作爲單位長,如果令它的定端點和右端點分別表示數0和1,則可用這條直線上的間隔爲單位長的點的集合來表示整數,正整數在0的右邊,負整數在0的左邊。以q爲分母的分數,可以用每一單位間隔分爲q等分的點表示。於是,每一個有理數都對應着直線上的一個點。
古代數學家認爲,這樣能把直線上所有的點用完。但是,畢氏學派大約在公元前400年發現:直線上存在不對應任何有理數的點。特別是,他們證明了:這條直線上存在點p不對應於有理數,這裏距離op等於邊長爲單位長的正方形的對角線。於是就必須發明新的數對應這樣的點,並且因爲這些數不可能是有理數,只好稱它們爲無理數。無理數的發現,是畢氏學派的最偉大成就之一,也是數學史上的重要里程碑。
無理數的發現,引起了第一次數學危機。首先,對於全部依靠整數的畢氏哲學,這是一次致命的打擊。其次,無理數看來與常識似乎相矛盾。在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的,因爲與直觀相反,存在不可通約的線段,即沒有公共的量度單位的線段。由於畢氏學派關於比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的,所以畢氏學派比例理論中的所有命題都侷限在可通約的量上,這樣,他們的關於相似形的一般理論也失效了。
“邏輯上的矛盾”是如此之大,以致於有一段時間,他們費了很大的精力將此事保密,不準外傳。但是人們很快發現不可通約性並不是罕見的現象。泰奧多勒斯指出,面積等於3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約,並對每一種情況都單獨予以了證明。隨着時間的推移,無理數的存在逐漸成爲人所共知的事實。
誘發第一次數學危機的一個間接因素是之後“芝諾悖論”的出現,它更增加了數學家們的擔憂:數學作爲一門精確的科學是否還有可能?宇宙的和諧性是否還存在?
在大約公元前370年,這個矛盾被畢氏學派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了。他的處理不可通約量的方法,出現在歐幾里得《原本》第5卷中,並且和狄德金於1872年繪出的無理數的現代解釋基本一致。今天中學幾何課本中對相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微炒之處。
第一次數學危機表明,幾何學的某些真理與算術無關,幾何量不能完全由整數及其比來表示。反之,數卻可以由幾何量表示出來。整數的尊祟地位受到挑戰,古希臘的數學觀點受到極大的衝擊。於是,幾何學開始在希臘數學中佔有特殊地位。同時也反映出,直覺和經驗不一定靠得住,而推理證明纔是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發,經過演繹推理,並由此建立幾何學體系。這是數學思想上的一次革命,是第一次數學危機的自然產物。
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